Hình Chiếu Là Gì? Phân Loại & Ví Dụ Về Hình Chiếu Trong Toán Học

Hình chiếu là gì là một khái niệm hình học chúng ta đã được học ở bậc phổ thông. Tuy nhiên, không phải ai cũng còn nhớ và nắm chắc kiến thức này. Hãy tham khảo bài viết dưới đây để ôn tập và củng cố kiến thức này nhé.

Khái niệm hình chiếu là gì?

Trong hình học, hình chiếu được định nghĩa là hình biểu diễn 3 chiều của một đối tượng. Hay còn được gọi là hình chiếu 3d của vật lên mặt phẳng hai chiều. Các yếu tố cơ bản để xác định hình chiếu là đối tượng cần chiếu, phép và mặt phẳng chiếu.

Ví dụ: Cho một đường thẳng d và 1 điểm A không nằm trên d. Giao điểm của đường vuông góc với d đi qua A cắt d tại H.

Từ hình vẽ ta thấy: 

Đoạn thẳng AH vuông góc với đường thẳng d. Khi đó, AH được gọi là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Điểm H là chân đường vuông góc. Hay H còn gọi là hình chiếu của A trên đường thẳng d.

Kẻ 1 đoạn thẳng nối từ A đến điểm M bất kì trên nằm trên đường thẳng d. Ta có, AM gọi là đường xiên kẻ từ A đến d. Khi đó, đoạn thẳng HM chính là hình chiếu của đường xiên AM trên đường thẳng d.

Phân loại các loại hình chiếu

Thông thường hình chiếu được chia theo những cách sau:

Hình chiếu thẳng góc

Đây là loại hình chiếu đơn giản nhất. Khi đo hình chiếu thẳng góc, hình dạng và kích thước của vật chiếu được bảo toàn. Phương pháp này cho phép biểu diễn một cách chính xác hình dạng, kích thước của vật thể đó. Mỗi hình chiếu thẳng góc chỉ có thể biểu diễn được 2 chiều của vật thể. Do đó, với những vật thể phức tạp cần phải sử dụng nhiều hình chiếu để biểu diễn.

Có 3 dạng hình chiếu thẳng góc phổ biến là:

• Hình chiếu đứng: Hướng chiếu nhìn từ mặt đằng trước tới.
• Hình chiếu bằng: Hướng chiếu từ bên trên nhìn xuống.
• Hình chiếu cạnh: Hướng chiếu từ bên cạnh, nhìn từ phải sang trái

  

Ngoài ra, có thể dùng thêm 3 hình chiếu khác ít được sử dụng hơn. Đó là hình chiếu nhìn từ dưới lên, nhìn từ phải sang trái và nhìn từ sau ra trước. Trong phép chiếu này, các tia chiếu sẽ song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng chiếu. Phương pháp này giúp biểu diễn các mặt của vật thể lên mặt phẳng chiếu. 

Hình chiếu trục đo

Bản chất của hình chiếu trục đo là thể hiện cả 3 chiều của đối tượng lên mặt phẳng chiếu. Các tia chiếu đến vật thể song song với nhau. Dựa vào phương chiếu xiên góc hoặc vuông góc và sự tương quan biến dạng của 3 chiều vật thể. Người ta phân ra các loại hình chiếu:

Hình chiếu trục đo theo hướng vuông góc

• Hình chiếu trục đo theo phương vuông góc có ba hệ số biến dạng với 3 trục bằng nhau.
• Hình chiếu trục đo vuông góc sẽ cân hai trong 3 hệ số biến dạng, có từng đôi một bằng nhau.
• Hình chiếu trục đo theo phương vuông góc lệch 3 hệ số thì hình chiếu biến dạng theo ba trục không bằng nhau.

  

Hình chiếu trục đo theo phương xiên

Khi chiếu một vật thể qua mặt phẳng theo phương xiên góc, hình chiếu trục đo sẽ chia làm 3 kiểu gồm:

• Hình chiếu trục đo phương xiên góc đều
• Hình chiếu trục đo phương xiên góc cân
• Hình chiếu trục đo phương xiên góc lệc

  

Hình chiếu phối cảnh

Đây là kiểu hình chiếu sử dụng phương pháp chiếu xuyên tâm qua một mặt phẳng. Qua phép chiếu này, các tia chiếu sẽ hội tụ tại một điểm, gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng của điểm tụ trên mặt phẳng chiếu. Người ta chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ hoặc 3 điểm tụ.

Hình chiếu vuông góc 

Hình chiếu vuông góc là gì?

Sau khi khái quát hình chiếu là gì, chúng ta cùng tìm hiểu kĩ hơn về hình chiếu vuông góc trong hình học. Hình chiếu vuông góc trên một mặt phẳng là hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc 90 độ.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (Q) và (P) vuông góc với nhau, điểm A nằm trên mặt phẳng (P). Từ A kẻ đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng (Q) tại H, khi đó H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Q).

Phương pháp vuông góc hình chiếu là gì?

Để xác định được hình chiếu vuông góc qua mặt phẳng, sử dụng phương pháp biểu diễn các hình chiếu vuông góc trên cùng một mặt phẳng chiếu.

Ví dụ 1: Trong không gian, cho mặt phẳng (α) và một đường thẳng d không vuông góc với (α).

Để tìm hình chiếu của đường thẳng d trên (α), ta lấy 2 điểm A và B nằm trên d. Tìm hình chiếu của A, B trên (α) lần lượt là hai điểm K, H. Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng a đi qua 2 điểm H và K. Khi đó đường thẳng a chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α).

Ví dụ 2: Trường hợp đường thẳng d và mặt phẳng (α) song song.

Xác định đường thẳng a là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (α). Khi đó, ta có d // a trên (α).

Ví dụ 3: Trường hợp đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm M

Ta lấy điểm B nằm trên d khác M. Sau đó tìm hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (α) là điểm H. Khi đó hình chiếu vuông góc của d trên (α) là đường thẳng a đi qua H và M.

Ví dụ thực tế về hình chiếu là gì?

Trên thực tế, ta có thể bắt gặp hình chiếu ở ngay đời sống xung quanh. Bạn có thể hiểu hình chiếu là hình phản chiếu của vật thể lên một mặt phẳng. Khi đi dưới mặt trời, hoặc đứng dưới ánh đèn, ta sẽ thấy bóng của mình dưới mặt đất. Đây là một ví dụ đơn giản về hình chiếu.

Hiện nay, hình chiếu được ứng dụng rất nhiều vào thực tế. Bạn sẽ bắt gặp ứng dụng của nó ở khắp mọi nơi. Ví dụ sử dụng công nghệ phản chiếu phối cảnh để thiết kế bản vẽ cho các công trình, nhà ở, cầu đường,… Hoặc ngay cả các loại máy móc như máy chiếu mini, máy chiếu phim tại rạp cũng là ứng dụng kiến thức về hình chiếu.

Tam giác hình chiếu là gì?

Tam giác hình chiếu hay còn được gọi với cái tên là tam giác bàn đạp. Tại điểm P với một tam giác đã cho trước và có ba đỉnh là hình chiếu của điểm P lên ba cạnh của tam giác.

Xét tam giác ABC, P nằm trên mặt phẳng không trùng với 3 điểm A, B, C. Các giao điểm của ba đường thẳng đi qua P và vuông góc với ba cạnh tam giác BC, CA, AB sẽ lần lượt là L,M,N. Khi đó, LMN sẽ là tam giác bàn đạp tương ứng với điểm P trong tam giác ABC.

Với mỗi điểm P ta xác định được một tam giác hình chiếu khác nhau, ví dụ:

• Nếu P là trực tâm, thì LMN được gọi là tam giác orthic ( tam giác có các đỉnh là chân các đường cao của 1 tam giác cho trước).
• Nếu P là tâm đường tròn nội tiếp, thì LMN là tam giác tiếp xúc trong
• Nếu P là tâm đường tròn ngoại tiếp, thì LMN là tam giác trung bình
• Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, lúc này 3 đỉnh của tam giác bàn đạp sẽ thẳng hàng.

Quan hệ giữa các đường khác với hình chiếu 

Ở đây ta xét mối quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên và giữa đường xiên với hình chiếu.

Cho một điểm A không nằm trên đường thẳng d. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d tại điểm H. Lấy điểm B nằm trên d sao cho B không trùng với điểm H. Ta có:

• Đoạn thẳng AH: Là đoạn vuông góc hay còn là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
• Điểm H: Là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB: Là đường xiên góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB: Là hình chiếu vuông góc của đường xiên góc AB trên đường thẳng d

  

Định lý 1: Trong các đường xiên góc và trong đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó. Đường vuông góc là đường có độ dài ngắn nhất.

Định lý 2: Trong hai đường xiên góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:

• Đường xiên góc nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
• Đường xiên góc lớn hơn thì hình chiếu của nó lớn hơn.
• Hai đường xiên góc bằng nhau thì hai hình chiếu sẽ bằng nhau. Và ngược lại, hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên góc bằng nhau.

Trên đây là những khái niệm cơ bản về hình chiếu là gì? Phân loại và đặc điểm của các loại hình chiếu. Hy vọng bài viết này sẽ mang lại cho bạn thêm kiến thức về hình chiếu cũng như cách phân loại chúng.