Tập Hợp Là Gì? Những Dạng Toán Tập Hợp Thường Gặp

Tập hợp có mặt khắp mọi nơi trong toán học hiện đại. Những lý thuyết về tập hợp là phương pháp tiêu chuẩn để cung cấp những kiến thức chặt chẽ cho hầu hết tất cả các phân nhánh của toán học tính từ nửa đầu thế kỷ 20 cho tới nay. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu đến các bạn tập hợp là gì? Ngoài ra, còn đưa ra những dạng bài thường gặp. Hãy cùng tham khảo nhé.

Khái niệm về tập hợp là gì?

Trong toán học, tập hợp có nghĩa là một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn những đối tượng nào đó. Những đối tượng đó được gọi là phần tử của tập hợp.

Các phần tử để tạo nên một tập hợp có thể  bất kỳ những loại đối tượng nào như: số, ký hiệu, hay đường thẳng, những hình dạng hình học khác, các điểm trong không gian, các biến hoặc thậm chí có thể là những tập hợp khác.

Là một tập hợp có thể được coi là phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà trong đó mỗi phần tử của nó là một tập nhỏ hơn hợp lại còn được gọi là họ tập hợp

Một tập hợp có thể có nhiều phần tử hoặc thậm chí là không có phần tử nào.

Ví dụ:

• Tập hợp học sinh trường THPT HCE
•  “Tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 4 và đồng thời nhỏ hơn 30” : Tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn các tính chất: vừa chia hết cho 4 và đồng thời vừa nhỏ hơn 30.
• Tập hợp những cuốn sách học tiếng anh lớp 10 được mua nhiều nhất
• Tập hợp các số từ 1 đến 1000

Ký Hiệu Và Biểu Diễn

Các mục dưới đây sẽ nói rõ hơn cho các bạn về cách biểu diễn tập hợp và các ký hiệu thường sử dụng trong tập hợp toán học nhé

Ký Hiệu

Tập hợp được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa. Ghi các phần tử trong hai dấu ngoặc nhọn {  }, cách nhau bởi dấu , hay ;

Phần tử a thuộc tập hợp A là: a ∈ A.

Phần tử a không thuộc tập hợp A là: a∉ A

Biểu diễn

Mỗi tập hợp bao gồm hai phần, phần tử thứ nhất là tên, phần tử thứ hai là danh sách các phần tử của tập hợp. Tên tập hợp được dùng để phân biệt với các tập khác, phải là duy nhất và tên không được trùng với những tập hợp khác.

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tập hợp các số tự nhiên bé hơn 6.

Gọi B là tập hợp các số tự nhiên bé hơn 6, lúc này ta biểu diễn như sau:

A = {0;1;2;3;4;5}

Ví dụ 2: Tập hợp gồm các chữ cái in hoa A, B, C, D, E.

Gọi k là tập hợp các chữ cái A,B,C,D, E, F,G,H. Lúc này ta biểu diễn như sau:

N = {A,B,C,D, E, F,G,H}

Lưu ý:

• Mỗi phần tử chỉ có thể được liệt kê duy nhất 1 lần
• Có thể liệt kê tùy ý thứ tự của các phần tử
• Thông thường sử dụng chữ cái in hoa để biểu diễn tên tập hợp

Cách cho một tập hợp

Một tập hợp được xác định bằng cách là chỉ ra những tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Vì vậy, chúng ta có thể xác định một tập hợp bằng 2 cách là:

Liệt kê lần lượt các phần tử : C = {phần tử}

Chỉ ra các tính chất đặc trưng của các phần tử đó (Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử sẽ làm ngắn gọn những tập hợp dài.)

Một tập hợp không có phân tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là Ø. 

Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó, ta có quy ước: tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.

Biểu diễn tập hợp cơ bản

Theo cách cơ bản, chúng ta sẽ liệt kê lần lượt các phần tử có trong tập hợp như sau.

Ví dụ: 

Biểu diễn tập hợp A, A gồm các số từ 0 đến 5.  Tập hợp A biểu diễn như sau:

A = {0; 1; 2; 3;4}

Biểu diễn tập hợp nâng cao

Tùy vào từng dạng bài toán mà  ta sẽ có những cách biểu diễn cơ bản hoặc nâng cao.

Ví dụ như sau: 

N là tập hợp những số tự nhiên (có nghĩa là các số từ 0 trở đi).

Biểu diễn tập hợp A , A bao gồm các số từ 0 đến 9. Lúc này, ta sẽ biểu diễn như sau:

A = {x∈ N | x < 10}, với N là tập hợp các số tự nhiên.

=> Tập hợp A là bao gồm các số x thuộc tập hợp các số tự nhiên N, trong đó điều kiện là x phải bé hơn 5.

Tóm lại, để biểu diễn tập hợp thì ta có hai cách thông dụng như sau:

Cách cơ bản: Liệt kê lần lượt ra tất cả các phần tử 

Cách nâng cao: Dựa vào các tính chất đặc trưng của tập hợp mà sẽ biểu diễn nâng cao 

Biểu diễn tập hợp bằng hình

Biểu diễn tập hợp bằng hình là cách biểu diễn thường gặp trong các dạng bài tập toán. Để có thể biểu diễn bằng hình, chúng ta hãy dùng một hình tròn chứa tất cả các phần tử của 1 tập hợp, sau đó dùng một mũi tên để chỉ đến tên của tập hợp.

A gồm các phần tử: a, b, c: A = {a, b, c}.

B gồm các phần tử a, b, m, n: B = {a, b, m, n}.

Một Số Tập Hợp Cơ Bản

Tập hợp các số tự nhiên có ký hiệu quy ước là N

N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10,…} 

Tập hợp các số nguyên có ký hiệu quy ước là Z

Z={… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4, …}.

Tập hợp số nguyên là bao gồm các phân tử là các số tự nhiên và các phần tử là số đối của các số tự nhiên đó.

Tập hợp các số nguyên dương có ký hiệu quy ước là là N* 

Các số hữu tỉ có ký hiệu quy ước là Q

Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}

Số hữu tỉ có thể là được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Tập hợp các số thực có ký hiệu quy ước là R

Mỗi số được biểu diễn bằng một số vô tỉ, đó là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp của các số vô tỉ có kí hiệu là I. Số thực sẽ được bao gồm tập hợp các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

Các Mối Quan Hệ Giữa Các Tập Hợp Số

Tập hợp con

Ta gọi A là tập hợp con của B nếu như mọi phần tử của A đều thuộc B, được kí hiệu như sau:

A ⊂ B ⇔ x ∈ A => x ∈ B

Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số với nhau có thể là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Hai tập hợp bằng nhau

Nếu hầu hết các phần tử của tập hợp A và tập hợp B đều như nhau, thì hai tập hợp này được gọi là bằng nhau và kí hiệu là A = B. Biểu thị như sau:

A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A.

Biểu đồ Ven

Người ta thường dùng một đường cong khép kín giới hạn trên một phần của mặt phẳng để minh họa một tập hợp. Các điểm nằm trên mặt phẳng này được dùng để biểu thị các phần tử của tập hợp ấy.

Mối quan hệ giữa các tập hợp số được thể hiện một cách trực quan thông qua biểu đồ Ven

Các Phép Toán Với Tập Hợp

Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B, đây là tập hợp bao gồm gồm các phần tử thuộc tập hợp B. Biểu diễn như sau:

A ∩ B = {x/ x ∈ A và x ∈ B}.

Phép hợp

Phép hợp của hai tập hợp A, và tập hợp B, kí hiệu là  A ∪ B. Đây là tập hợp bao gồm các phần tử hoặc thuộc A, hoặc thuộc B. Biểu diễn như sau:

A ∪ B = {x/ x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Phép hiệu

Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, được kí hiệu là A\B. Đây là tập hợp gồm các phần tử thuộc  A và không thuộc B. Biểu diễn như sau:

A\B= {x/ x ∈ A và x ∉ B}.

Phần bù

Nếu, B ⊂ A thì ta gọi AB là phần bù của B trong A. Kí hiệu là CAB

Ví dụ minh họa các phép toán:

Với A là tập hợp chứa các chữ cái trong câu tục ngữ “CÓ CHÍ THÌ NÊN”, còn B là tập hợp chứa các chữ cái của câu tục ngữ “CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM’.

Xác định các phần tử của A và B: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A

Lời giải ví dụ trên như sau:

A= { I, N, O, T, C, Ê, H}

B = { K, I, G, O, Ô, A, Ă, C, Ê, M, N, S, T, Y}

A ∩ B = { N, O, T, C, Ê, I}

A ∪ B = { G, H, I, K, M, A, Ă, C, E, Ê, N, O, Ô, S, T, Y}.

A\B = {H}.

B\A = (M,S,Y,K, A,Ă,G,Ô)

Ví Dụ 2: 

Cho tập hợp A, hãy xác định

A ∩ A, A ∪ A, A ∩ Ø, A ∪ Ø

Lời giải của ví dụ như sau:

A ∩ A = A;

A ∪ A = A;

A ∩ Ø = Ø;

A ∪ Ø = A;

Một số các dạng toán ứng dụng phép toán tập hợp

Dạng 1: Xác định tập hợp, những phép toán trên tập hợp

Ví dụ:

Cho A là tập hợp các học sinh khối 12 đang học ở trường và B là tập hợp các học sinh đang học môn Văn ở trường.  Cho các tập hợp như sau: A∪B;A∩B;A∖B;B∖A.

• A∪B: tập hợp các học sinh hoặc đang học lớp 12, hoặc đang học môn Văn ở trường.
• A∩B: tập hợp các học sinh lớp 12 học môn Văn ở trường.
• A∖B: tập hợp các học sinh đang học lớp 12 nhưng không học môn Văn ở trường.
• B∖A: tập hợp các học sinh học môn Văn ở trường nhưng không học lớp 12.

Dạng 2: Vận dụng biểu đồ Ven để giải các bài toán tập hợp.

Để sử dụng biểu đồ ven để giải toán tập hợp, ta làm theo 3 bước như sau:

• Chuyển các bài toán dưới dạng ngôn ngữ tập hợp.
• Vận dụng sơ đồ Ven cho sẵn các tập hợp .
• Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức, phương trình hoặc hệ phương trình, và từ đó tìm ra kết quả bài toán.

Dạng 3:Vận dụng biểu đồ Ven để giải toán tập hợp.

Phép A∩B, ta làm các bước như sau:

• Sắp xếp trục số theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B 
• Biểu diễn các tập A, tập B trên trục số (phần nào không thuộc các tập hợp đó thì gạch bỏ)
• Phần không bỏ đi chính là giao của hai tập hợp A, B.

Phép A U B, ta làm như sau:

• Sắp xếp lên trục số theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của tập hợp A, B 
• Tô đậm các tập hợp A, tập hợp B trên trục số
•  Phần tô đậm là hợp của hai tập hợp A và B

Phép A∖B,ta ta làm như sau:

• Sắp xếp trục số theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B 
• Biểu diễn các tập A trên trục số (gạch phần không thuộc tập hợp A ), gạch phần thuộc B
• Phần không bị gạch là  A \ B

Bài viết trên đây đã giới thiệu cho các bạn chi tiết về Tập hợp là gì? Ngoài ra, còn cung cấp thêm những thông tin về những phép toán cùng những dạng bài thông dụng về tập hợp để giúp cho bạn đọc có thể hiểu sâu hơn về bài toán này. Hy vọng sẽ mang đến những thông tin hữu ích cho việc học toán của các bạn.